Question

已知點P（1，2），在直線l：x-y+4=0上求一點Q，使得|OQ|+|PQ|（O是坐標原點）最小，并求這個最小值．

Answer 1

考點：兩點間距離公式的應用

專題：直線與圓

分析：如圖所示，作點P關于直線l的對稱點M，連接OM交直線l于點Q，則Q滿足：使得|OQ|+|PQ|（O是坐標原點）最小．設M（a，b），則

a+1 2 - y+2 2 +4=0 b-2 a-1 ×1=-1

，解出即可．

解答： 解：如圖所示，
作點P關于直線l的對稱點M，連接OM交直線l于點Q，則Q滿足：使得|OQ|+|PQ|（O是坐標原點）最小．
設M（a，b），則

a+1 2 - y+2 2 +4=0 b-2 a-1 ×1=-1

，解得

a=-2 b=5

，
∴M（-2，5），可得直線OM的方程：y=-

5

2

x，
聯立

5x+2y=0 x-y+4=0

，解得

x=- 8 7 y= 20 7

，
∴Q(-

8

7

，

20

7

)．
|OQ|+|PQ|最小值為|OM|=

(-2)2+52

=

29

．

點評：本題考查了對稱點的求法、兩點之間的距離根式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．