Question

9．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）與直線l：x-y+1=0相切于點M．
（1）求拋物線C的方程；
（2）作直線l'與OM平行（O為原點）且與拋物線C交于A，B兩點，又與直線l交于點P，是否存在常數λ，使得|PM|²=λ|PA||PB|成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：將直線y=x+1代入拋物線方程，由△=0，即可求得p的值，求得拋物線C的方程；
（2）假設存在常數λ，使得|PM|²=λ|PA||PB|成立，由（1）求得M坐標，|PM|²=2m²，求得直線的斜率，設直線方程為y=2x+m（m≠0），代入拋物線方程，由韋達定理及向量數量積的坐標表示可知：丨PA丨丨PB丨=$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\frac{5}{4}$m²，則2m²=$\frac{5}{4}$m²λ，即可求得常數λ．

解答 解：（1）由題意可知：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，整理得：x²+2（1-p）x+1=0，
由拋物線C：y²=2px（p＞0）與直線l：x-y+1=0相切，
∴△=0，即4（1-p）²-4=0，解得：p=2或p=0（舍去），
∴拋物線方程為：y²=4x；
（2）假設存在常數λ，使得|PM|²=λ|PA||PB|成立，
由（1）可知：M（1，2），則k_OM=2，
設直線l′方程為y=2x+m（m≠0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則P（1-m，2-m），|PM|²=2m²，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：4x²+4（m-1）x+m²=0，
由△＞0，即16（m-1）²-16m²＞0，解得：m＜$\frac{1}{2}$且m≠0，
由韋達定理可知：x₁+x₂=1-m，x₁•x₂=$\frac{{m}^{2}}{4}$，
由丨PA丨丨PB丨=$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=5[x₁•x₂+（m-1）（x₁+x₂）+（m-1）²]=$\frac{5}{4}$m²，
整理得：2m²=$\frac{5}{4}$m²λ，解得：λ=$\frac{8}{5}$，
∴存在常數λ=$\frac{8}{5}$，使得|PM|²=λ|PA||PB|成立．

點評 本題考查拋物線的標準方程，直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理，向量數量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．