Question

【題目】如圖，在多面體中，四邊形為直角梯形， ， ， ， ，四邊形為矩形.

（1）求證：平面平面；

（2）線段上是否存在點，使得二面角的大小為？若存在，確定點的位置并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）點為線段的中點

【解析】試題分析：（1）先根據勾股定理得，再由矩形性質得，由線面垂直判定定理得，最后根據面面垂直判定定理得結論 （2）根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，根據方程組解各平面法向量，根據向量數量積兩法向量夾角，最后根據二面角與向量夾角相等或互補關系求點坐標，即得點的位置

試題解析：（1）證明：由平面幾何的知識，易得， ，

又，所以在中，滿足，所以為直角三角形，且.

因為四邊形為矩形，

所以.

由， ， ，

可得 .

又，

所以平面 平面.

（2）存在點，使得二面角為大小為，點為線段的中點.

事實上，以為原點， 為軸， 為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，

則, ，

設,由，

即，得.

設平面的一個法向量為，

則，即，

不妨設，取.

平面的一個法向量為.

二面角為大小為

于是.

解得 或（舍去）.

所以當點為線段的中點時，二面角為大小為.