Question

【題目】《城市規(guī)劃管理意見》中提出“新建住宅原則上不再建設(shè)封閉住宅小區(qū)，已建成的住宅小區(qū)和單位大院逐步打開”，此消息在網(wǎng)上一石激起千層浪．各種說法不一而足，為了了解居民對“開放小區(qū)”認(rèn)同與否，從[25，55]歲人群中隨機(jī)抽取了n人進(jìn)行問卷調(diào)查，得如下數(shù)據(jù)：

組數(shù)	分組	認(rèn)同人數(shù)	認(rèn)同人數(shù)占 本組人數(shù)比
第一組	[25，30）	120	0.6
第二組	[30，35）	195	p
第三組	[35，40）	100	0.5
第四組	[40，45）	a	0.4
第五組	[45，50）	30	0.3
第六組	[50，55）	15	0.3

（1）完成所給頻率分布直方圖，并求n，a，p．
（2）若從[40，45），[45，50）兩個年齡段中的“認(rèn)同”人群中，按分層抽樣的方法抽9人參與座談會，然后從這9人中選2名作為組長，組長年齡在[40，45）內(nèi)的人數(shù)記為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)[25，30）年齡段人數(shù)為x人，

由題意 ，解得x=200，

∵[25，30）年齡段人數(shù)的頻率為0.04×5=0.2，

∴ ，解得n=1000．

∵[30，35）年齡段人數(shù)的頻率為：1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，

∴[30，35）年齡段人數(shù)為0.3×1000=300，

∴p= =0.65，

∵[40，45）年齡段人數(shù)的頻率為0.03×5=0.15，

∴[40，45）年齡段人數(shù)為0.15×1000=150，

∴a=150×0.4=60．

完成頻率分布直方圖如下：

（2）解：由（1）得[40，45）年齡段中認(rèn)同人數(shù)為60人，[45，50）兩段中認(rèn)同人數(shù)為30人，

按分層抽樣的方法抽9人參與座談會，[40，45）年齡段中抽取6人，[45，50）年齡段中抽取3人，

ξ的可能取值為0，1，2，

P（ξ=0）= = ，P（ξ=1）= = ，

P（ξ=2）= = ，

ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P

Eξ= = ．

【解析】（1）由頻率= ，利用已知條件能完成所給頻率分布直方圖，并能求出n，a，p．（2）由[40，45）年齡段中認(rèn)同人數(shù)為60人，[45，50）兩段中認(rèn)同人數(shù)為30人，按分層抽樣的方法抽9人參與座談會，[40，45）年齡段中抽取6人，[45，50）年齡段中抽取3人，ξ的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【考點精析】掌握頻率分布直方圖和離散型隨機(jī)變量及其分布列是解答本題的根本，需要知道頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達(dá)方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；在射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡稱分布列．