Question

在直角坐標系xOy中，圓C₁和C₂的參數方程分別是

x=2+2cosφ y=2sinφ

（φ為參數）和

x=cosφ y=1+sinφ

（φ為參數），以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求圓C₁和C₂的極坐標方程；
（2）射線OM：θ=a與圓C₁的交點為O、P，與圓C₂的交點為O、Q，求|OP|•|OQ|的最大值．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數方程

分析：（1）首先把兩圓的參數方程轉化成直角坐標方程，再把直角坐標方程為轉化成極坐標方程．
（2）根據圓的坐標形式．利用兩點間的距離公式，再利用換元法進一步求出最值．

解答： 解：（1）圓C₁

x=2+2cosφ y=2sinφ

（φ為參數），
轉化成直角坐標方程為：（x-2）²+y²=4
即：x²+y²-4x=0
轉化成極坐標方程為：ρ²=4ρcosθ
即：ρ=4cosθ
圓C₂

x=cosφ y=1+sinφ

（φ為參數），
轉化成直角坐標方程為：x²+（y-1）²=1
即：x²+y²-2y=0
轉化成極坐標方程為：ρ²=2ρsinθ
即：ρ=2sinθ
（2）射線OM：θ=α與圓C₁的交點為O、P，與圓C₂的交點為O、Q
則：P（2+2cosα，2sinα），Q（cosα，1+sinα）
則：|OP|=

4(cosα+1)2+4sin2α

=

8+8cosα

，
|OQ|=

cos2α+(1+sinα)2

=

2+2sinα

則：|OP||OQ|=

(8+8cosα)(2+2sinα)

=4

1+sinα+cosα+sinαcosα

設sinα+cosα=t（1≤t≤

2

）
則：sinαcosα=

t2-1

2

則關系式轉化為：
4

1+t+ t2-1 2

=4

|t+1|

2

=2

2

|t+1|
由于：1≤t≤

2

所以：（|OP||OQ|）_max=2

2

(

2

+1)=4+2

2

．

點評：本題考查的知識要點：參數方程和直角坐標方程及極坐標方程之間的相互轉化，三角函數關系式的恒等變換，利用換元法求三角函數的最值問題．