Question

已知數列{a_n}為等差數列，a₃=5，a₄+a₈=22．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n及前n項和公式S_n；
（2）令b_n=

n+1

SnSn+2

，求證：b₁+b₂+…b_n＜

5

16

．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知求出等差數列的首項和公差，代入等差數列的通項公式和前n項和得答案；
（2）把等差數列的前n項和代入b_n=

n+1

SnSn+2

，列項和求出b₁+b₂+…b_n，放縮后得答案．

解答： （1）解：由a₄+a₈=22得：a₆=11，
又a₃=5，
∴d=2，
則a₁=a₃-2d=1．
∴a_n=2n-1；
S_n=na1+

n(n-1)d

2

=n+

2n(n-1)

2

═n² ；
（2）證明：b_n=

n+1

SnSn+2

=

n+1

n2(n+2)2

=

1

4

(

1

n2

-

1

(n+2)2

)，
當n=1時，b₁=

2

12×32

=

2

9

＜

5

16

，原不等式成立；
當n≥2時，
b₁+b₂+…+b_n=

1

4

(

1

12

-

1

32

+

1

22

-

1

42

+…+

1

n2

-

1

(n+2)2

)
=

1

4

(

1

12

+

1

22

-

1

n2

-

1

(n+2)2

)＜

1

4

(1+

1

4

)-

1

4

(

1

n2

+

1

(n+1)2

)=

5

16

-

1

4

(

1

n2

+

1

(n+1)2

)＜

5

16

．
∴b₁+b₂+…+b_n＜

5

16

．

點評：本題考查了等差數列的通項公式，訓練了裂項相消法求數列的和，訓練了放縮法證明數列不等式，是中檔題．