Question

20．函數f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx是[1，+∞）上的增函數．
（Ⅰ）求正實數a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數g（x）=x²+2x，在使g（x）≥M對定義域內的任意x值恒成立的所有常數M中，我們把M的最大值M=-1叫做f（x）=x²+2x的下確界，若函數f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx的定義域為[1，+∞），根據所給函數g（x）的下確界的定義，求出當a=1時函數f（x）的下確界．
（Ⅲ）設b＞0，a＞1，求證：ln$\frac{a+b}{b}$＞$\frac{1}{a+b}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當函數單調遞增時，其導數大于等于0恒成立求參數的范圍
（Ⅱ）求下確界就是求函數的最小值利用導數求函數的最值
（Ⅲ）證明不等式就是求最值．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{ax-1}{{ax}^{2}}$，f′（x）≥0對x∈[1，+∞）恒成立，
∴a≥$\frac{1}{x}$對x∈[1，+∞）恒成立，
又$\frac{1}{x}$≤1，∴a≥1，
故正實數a的取值范圍為a≥1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a=1時，函數f（x）是定義域[1，+∞）上的增函數，
故f（x）_min=f（1）=0，
f（x）≥M恒成立
∴M≤f（x）_min=0，
∴M的最大值為0，
∴當a=1時函數f（x）的下確界為0．
答：當a=1時函數f（x）的下確界是0；
（Ⅲ）證明：取x=$\frac{a+b}{b}$，∵a＞1，b＞0，∴$\frac{a+b}{b}$＞1，
由（Ⅰ）知f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx在[1，+∞）上是增函數，
∴f（$\frac{a+b}{b}$ ）＞f（1）=0，
∴$\frac{1-\frac{a+b}{b}}{a•\frac{a+b}{b}}$+ln $\frac{a+b}{b}$＞0，
即ln $\frac{a+b}{b}$＞$\frac{1}{a+b}$．

點評 導數的應用①知函數的單調性求參數范圍 一般轉化成道函數恒大于等于0 或小于等于0②證明不等式轉化成函數的最值，若含著對數或指數一般用導數求最值．