Question

16．在平面直角坐標系xoy中，圓的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+cosφ\\ y=2\sqrt{3}+sinφ\end{array}\right.$（φ為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為$\sqrt{3}ρcosθ+3ρsinθ+4\sqrt{3}=0$．
（1）將圓的參數方程化為普通方程，在化為極坐標方程；
（2）若點P在直線l上，當點P到圓的距離最小時，求點P的極坐標．

Answer 1

分析 （1）求出圓的標準方程，根據x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出極坐標方程即可；
（2）求出直線l的直角坐標方程，聯立方程組，求出P的坐標，從而求出P的極坐標即可．

解答 解：（1）將圓的參數方程，消去參數φ，
得：（x-2）²+${（y-2\sqrt{3}）}^{2}$=1，
將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入（x-2）²+${（y-2\sqrt{3}）}^{2}$=1，
得圓的極坐標方程是：ρ²-4ρcosθ-4$\sqrt{3}$sinθ+15=0；
（2）由ρcosθ=x，ρsinθ=y知，
直線l的直角坐標方程為：$\sqrt{3}$x+3y+4$\sqrt{3}$=0，其斜率是-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
易得直線l與圓相離，
當點P到圓的距離最小時，則點P與圓心連線與直線l垂直，即其相離是$\sqrt{3}$，
其方程是：y-2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$（x-2），即y=$\sqrt{3}$x，
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+3y+4\sqrt{3}=0}\\{y=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
即點P的直角坐標是（-1，-$\sqrt{3}$），
故P的極坐標是（2，$\frac{4π}{3}$）．

點評 本題考查了極坐標以及直角坐標方程的轉化，考查轉化思想，是一道中檔題．