Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²，n∈N^*．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=

1

anan+1

，n∈N^*，求數列{b_n}的前n項和T_n．
（3）設A_n=（1+

1

a1

）（1+

1

a2

）（1+

1

a3

）•…•（1+

1

an

），n∈N^*，試比較A_n與

an+1

的大小，并證明你的結論．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，當n=1時，a₁=S₁=1，即可得出．
（2）b_n=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用“裂項求和”即可得出數列{b_n}的前n項和T_n．
（3）利用1+

1

an

=1+

1

2n-1

=

2n-1+2n+1

2(2n-1)

＞

(2n-1)(2n+1)

2n-1

=

2n+1 2n-1

，即可得出A_n＞

an+1

．

解答： 解：（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
當n=1時，a₁=S₁=1，上式也成立，
∴a_n=2n-1．
（2）b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴數列{b_n}的前n項和T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
（3）∵1+

1

an

=1+

1

2n-1

=

2n

2n-1

=

2n-1+2n+1

2(2n-1)

＞

(2n-1)(2n+1)

2n-1

=

2n+1 2n-1

，
∴A_n＞

3 1

×

5 3

×

7 5

×…×

2n+1 2n-1

=

2n+1

=

an+1

．
∴A_n＞

an+1

．

點評：本題考查了遞推式的應用、“裂項求和”、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．