Question

14．已知⊙M：x²+（y-2）²=1，Q是x軸上的動點，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點，求動弦AB的中點P的軌跡方程為${x^2}+{（{y-\frac{7}{4}}）^2}=\frac{1}{16}$（$\frac{3}{2}$≤y＜2）．

Answer 1

分析 連接MB，MQ，設P（x，y），Q（|a|，0），點M、P、Q在一條直線上，利用斜率相等建立等式，進而利用射影定理|MB|²=|MP|•|MQ|，聯立消去a，求得x和y的關系式，根據圖形可知y＜2，進而可求得動弦AB的中點P的軌跡方程．

解答 解：連接MB，MQ，設P（x，y），Q（|a|，0），點M、P、Q在一條直線上，
得$\frac{2}{-a}$=$\frac{y-2}{x}$．①
由射影定理，有|MB|²=|MP|•|MQ|，
即$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$•$\sqrt{{a}^{2}+4}$=1．②
由①及②消去a，可得x²+（y-$\frac{7}{4}$）²=$\frac{1}{16}$和x²+（y-$\frac{9}{4}$）²=$\frac{1}{16}$．
又由圖形可知y＜2，
因此x²+（y-$\frac{9}{4}$）²=$\frac{1}{16}$舍去．
因此所求的軌跡方程為x²+（y-$\frac{7}{4}$）²=$\frac{1}{16}$（$\frac{3}{2}$≤y＜2）．
故答案為：x²+（y-$\frac{7}{4}$）²=$\frac{1}{16}$（$\frac{3}{2}$≤y＜2）．

點評 本題主要考查了直線與圓的位置關系，求軌跡方程問題．解題過程中靈活利用了射影定理．