Question

1．已知數列{a_n}的通項公式為a_n=$\frac{1}{3n-2}$，n∈N^*．
（1）求數列{$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}}$}的前n項和S_n；
（2）設b_n=a_na_n+1，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）a_n=$\frac{1}{3n-2}$，n∈N^*．可得$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{3n-2}+2}{\frac{1}{3n-2}}$=6n-4．利用等差數列的求和公式即可得出數列{$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}}$}的前n項和S_n．
（2）b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，利用裂項求和方法即可得出．

解答 解：（1）∵a_n=$\frac{1}{3n-2}$，n∈N^*．∴$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{3n-2}+2}{\frac{1}{3n-2}}$=6n-4．
∴數列{$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}}$}的前n項和S_n=$\frac{n（2+6n-4）}{2}$=3n²-n．
（2）b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$．
∴{b_n}的前n項和T_n=$\frac{1}{3}[（1-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）]$
=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3n+1}）$=$\frac{n}{3n+1}$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．