Question

3．若不等式$\frac{1}{2}{x^2}-{y^2}$≤2cx（y-x）對任意滿足x＞y＞0的實數x，y恒成立，則實數c的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}-1$．

Answer 1

分析 把$\frac{1}{2}{x^2}-{y^2}$≤2cx（y-x）對任意滿足x＞y＞0的實數x、y恒成立，轉化為4c≤$\frac{{x}^{2}-2{y}^{2}}{xy-{x}^{2}}$=$\frac{（\frac{x}{y}）^{2}-2}{\frac{x}{y}-（\frac{x}{y}）^{2}}$，換元后利用導數求函數的最小值，可得4c的最大值，可得c的最大值．

解答 解：∵$\frac{1}{2}{x^2}-{y^2}$≤2cx（y-x）對任意滿足x＞y＞0的實數x、y恒成立，
∴4c≤$\frac{{x}^{2}-2{y}^{2}}{xy-{x}^{2}}$=$\frac{（\frac{x}{y}）^{2}-2}{\frac{x}{y}-（\frac{x}{y}）^{2}}$，
令$\frac{x}{y}$=t＞1，∴4c≤$\frac{{t}^{2}-2}{t-{t}^{2}}$，
令f（t）=$\frac{{t}^{2}-2}{t-{t}^{2}}$，則f′（t）=$\frac{{t}^{2}-4t+2}{（t-{t}^{2}）^{2}}$=$\frac{（t-2-\sqrt{2}）（t-2+\sqrt{2}）}{（t-{t}^{2}）^{2}}$，
當t＞2+$\sqrt{2}$時，f′（t）＞0，函數f（t）單調遞增；當1＜t＜2+$\sqrt{2}$時，f′（t）＜0，函數f（t）單調遞減．
∴當t=2+$\sqrt{2}$時，f（t）取得最小值，f（2+$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$-4．
∴實數4c的最大值為2$\sqrt{2}$-4，則c的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}-1$，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}-1$．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．