Question

10．已知橢圓C的兩焦點分別為F₁（-2$\sqrt{2}$，0）、F₂（2$\sqrt{2}$，0），長軸長為6．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）已知過點（0，2）且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點，試探究原點O是否在以線段AB為直徑的圓上．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據題意得：$c=2\sqrt{2}，a=3$，a²=b²+c²可得b；
（Ⅱ）設$A（\begin{array}{l}{{x_1}，{y_1}}\end{array}），B（\begin{array}{l}{{x_2}，{y_2}}\end{array}）$，直線AB的方程為y=x+2，由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{9}+{y^2}=1\\ y=x+2\end{array}\right.$得：10x²+36x+27=0，
△＞0及$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$進行判定．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）根據題意得：$c=2\sqrt{2}，a=3$，所以b=1，…（2分）
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$；…（4分）
（Ⅱ）設$A（\begin{array}{l}{{x_1}，{y_1}}\end{array}），B（\begin{array}{l}{{x_2}，{y_2}}\end{array}）$，直線AB的方程為y=x+2，…（5分）
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{9}+{y^2}=1\\ y=x+2\end{array}\right.$得：10x²+36x+27=0，…（7分）
△＞0則${x_1}+{x_2}=-\frac{18}{5}，{x_1}{x_2}=\frac{27}{10}$，…（9分）
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=2{x_1}{x_2}+2（{x_1}+{x_2}）+4=\frac{27}{5}-\frac{36}{5}+4=\frac{11}{5}≠0$，…（11分）
∴原點O不在以線段AB為直徑的圓上．…（12分）

點評 本題考查了橢圓的方程及橢圓與直線的位置關系及圓過定點，屬于中檔題．