Question

如圖△ABC中，AB=4，BC=3，AC=2，以A為圓心，直徑PQ=2，則

BP

•

CQ

的最大值為（　　）

• A、

  15

  2

• B、

  19

  2

• C、

  21

  2

• D、

  23

  2

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：本題考查的知識點是平面向量的數量積運算，由AB=4，BC=3，AC=2，以點A為圓心，直徑PQ=2作一個圓，設PQ為圓A的任意一條直徑，我們易得

BP

•

CQ

=+

AP

•

CB

，又由|

AP

|=1，|

CB

|=3，我們可得當

AP

，

CB

同向時，T取最大值．

解答：解：∵△ABC中，AB=4，BC=3，AC=2，
∴cosA=

42+22-32

2×4×2

=

11

16

，
故

BA

•

CA

=|

BA

|•|

CA

|=cosA=

11

2

，
又由直徑PQ=2，故AP=AQ=1，
故

AP

²=1，
∴

BP

•

CQ

=（

BA

+

AP

）•（

CA

+

AQ

）
=（

BA

+

AP

）•（

CA

-

AP

）
=

BA

•

CA

+

AP

•（

CA

-

BA

）-

AP

²，
=

9

2

+

AP

•（

CA

-

BA

）
=

9

2

+

AP

•

CB

由|

AP

|=1，|

CB

|=3，
故當

AP

，

CB

同向時

BP

•

CQ

的最大值為

9

2

+3=

15

2

，
故選：A

點評：如果兩個非量平面向量平行（共線），則它們的方向相同或相反，此時他們的夾角為0或π．當它們同向時，夾角為0，此時向量的數量積，等于他們模的積，有最大值；當它們反向時，夾角為π，此時向量的數量積，等于他們模的積的相反數，有最小值．如果兩個向量垂直，則它們的夾角為π2，此時向量的數量積，等于0．