Question

定義在（-2，2）上的函數(shù)f（x）=x³+x，若f（m-1）+f（2m-1）＞0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

（-

1

2

，0）

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，證出f（x）在其定義域（-2，2）上是奇函數(shù)，從而將不等式f（m-1）+f（2m-1）＞0化成f（m-1）＞f（-2m+1）．再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)f（x）在（-2，2）上是增函數(shù)，由此建立關(guān)于m的不等式，解之即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：∵f（-x）=-x³-x=-f（x），
∴函數(shù)f（x）在其定義域（-2，2）上是奇函數(shù)
因此，不等式f（m-1）+f（2m-1）＞0可化成f（m-1）＞-f（2m-1）
即f（m-1）＞f（-2m+1），
∵函數(shù)f（x）=x³+x，求導(dǎo)數(shù)得f'（x）=3x²++1＞0
∴函數(shù)f（x）在其定義域（-2，2）上是增函數(shù)
由此可得原不等式等價(jià)于

-2＜m-1＜2 -2＜-2m+1＜2 m-1＞-1+2m

，解之得-

1

2

＜m＜0
即實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-

1

2

，0）
故答案為：（-

1

2

，0）

點(diǎn)評(píng)：本題給出以三次式項(xiàng)式函數(shù)為載體的函數(shù)，在已知它的單調(diào)性和奇偶性情況下求解關(guān)于m的不等式，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等基本性質(zhì)和不等式的解法等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．