Question

13．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面BB₁C₁C為菱形，AC=AB₁．
（1）證明：AB⊥B₁C；
（2）若∠CAB₁=90°，∠CBB₁=60°，AB=BC，求二面角A-A₁B₁-C₁的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連結BC₁，交B₁C于點O，連結AO，推導出B₁C⊥BC₁，AO⊥B₁C，從而B₁C⊥平面ABD，由此能證明AB⊥B₁C．
（2）以O為原點，分別以OB，OB₁，OA為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-A₁B₁-C₁的正弦值．

解答 證明：（1）連結BC₁，交B₁C于點O，連結AO，
∵側面BB₁C₁C為菱形，∴B₁C⊥BC₁，且O為B₁C的BC₁的中點，
∵AC=AB₁，∴AO⊥B₁C，又AO∩BC₁=O，
∴B₁C⊥平面ABD，
∵AB?平面ABO，∴AB⊥B₁C．
解：（2）∵∠CAB₁=90°，∴AC⊥AB₁，
又O為B₁C的中點，∴AO=CO，
又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，
從而OA，OB，OB₁兩兩垂直，
以O為原點，分別以OB，OB₁，OA為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
∵∠CBB₁=60°，∴△CBB₁為等邊三角形，
又∵AB=BC，OC=OA，
∴A（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），B（1，0，0），B₁（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），C（0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\overrightarrow{AB}$=（1，0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}=\overrightarrow{BC}=（-1，-\frac{\sqrt{3}}{3}，0）$，
設$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面AA₁B₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{\;}{B}_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{3}y-\frac{\sqrt{3}}{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=x-\frac{\sqrt{3}}{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），
設平面A₁B₁C₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=a-\frac{\sqrt{3}}{3}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}=-a-\frac{\sqrt{3}}{3}b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}=（1，-\sqrt{3}，\sqrt{3}）$，
則cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{7}$，
sin＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\sqrt{1-（\frac{1}{7}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．
∴二面角A-A₁B₁-C₁的正弦值為$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力培養和向量法的合理運用．