Question

14．如圖，正方形AMDE的邊長為2，B，C分別為AM，MD的中點，在五棱錐P-ABCDE中，F為棱PE的中點，平面ABF與棱PD，PC分別交于G，H兩點．
（1）求證：AB∥FG；
（2）若PA⊥平面ABCDE，且PA=AE，求平面PCD與平面ABF所成角（銳角）的余弦值，并求線段PH的長．

Answer 1

分析 （1）推導出AB∥DE，從而AB∥平面PDE，由此能證明AB∥FG．
（2）以A為原點，分別以AM，AE，AP為x，y，z的正半軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面PCD與平面ABF所成角（銳角）的余弦值和PH的長．

解答 證明：（1）在正方形AMDE中，∵B是AM的中點，∴AB∥DE，
∵AB?平面PDE，DE?平面PDE，∴AB∥平面PDE，
∵AB?平面ABF，且面ABF∩平面PDE=FG，
∴AB∥FG．
解：（2）∵PA⊥底面ABCDE，∴PA⊥AB，PA⊥AE，
∴以A為原點，分別以AM，AE，AP為x，y，z的正半軸建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，1，0），D（2，2，0），P（0，0，2），F（0，1，1），
設平面ABF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=x-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，-1，1），
設平面PCD的法向量為$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=a-c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，1），
設平面PCD與平面ABF所成角（銳角）為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{2}$，
∴平面PCD與平面ABF所成角（銳角）的余弦值為$\frac{1}{2}$．
設點H（μ，v，w），∵點H 在棱PC上，設$\overrightarrow{PH}=λ\overrightarrow{PC}$（0＜λ＜1），
則（μ，v，w）=λ（2，1，-2），∴μ=2λ，v=λ，w=2-2λ，
∵平面ABF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，-1，1），
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AH}$=-λ+2-2λ=0，解得$λ=\frac{2}{3}$，
∴H（$\frac{4}{3}，\frac{2}{3}，\frac{2}{3}$），∴PH=$\sqrt{（\frac{4}{3}）^{2}+（\frac{2}{3}）^{2}+（2-\frac{2}{3}）^{2}}$=2．

點評 本題考查線線平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．