Question

已知sin(

π

4

+α) • sin(

π

4

-α)=-

3

10

，α∈(

π

4

，  

π

2

)，求2sin²α+tanα-cotα-1的值．

Answer 1

分析：觀察到（

π

4

+α）+（

π

4

-α）=

π

2

，可將sin(

π

4

+α) • sin(

π

4

-α)=-

3

10

，α∈(

π

4

， 

π

2

)化為

1

2

sin(

π

2

-2α)=-

3

10

，從而可求cos2α，sin2α，將所求關系式整理后，代入即可求得其值．

解答：解：由已知得cos(

π

4

-α) • sin(

π

4

-α)=-

3

10

即

1

2

sin(

π

2

-2α)=-

3

10

，
∴

1

2

cos2α=-

3

10

，
∴cos2α=-

3

5

；（5分）
又 α∈(

π

4

，  

π

2

)∴2α∈(

π

2

，π)
∴sin2α=

1-cos22α

=

1-(- 3 5 )2

=

4

5

，（7分）cot2α=

cos2α

sin2α

=-

3

4

；（8分）
∴原式=-cos2α+

sinα

cosα

-

cosα

sinα

=-cos2α-

cos2α-sin2α

sinαcosα

=-cos2α-

cos2α

1 2 sin2α

=-cos2α-2cot2α（12分）=

3

5

+

3

2

=

21

10

．（13分）

點評：本題考查三角函數的恒等變換及化簡求值，重點在于觀察角之間的關系，正確運用三角函數的誘導公式，倍角公式解決問題，屬于中檔題．