Question

已知sin(α+

π

4

)=-

3

5

(0＜α＜π)，則cos2α=

24

25

．

Answer 1

分析：將已知等式左邊利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，求出sinα+cosα的值，兩邊平方并利用同角三角函數間的基本關系化簡求出2sinαcosα的值小于0，由α的范圍，得到sinα大于0，cosα小于0，利用完全平方公式求出sinα-cosα的值，將所求式子利用二倍角的余弦函數公式化簡，再利用平方差公式變形，將各自的值代入即可求出值．

解答：解：∵sin（α+

π

4

）=

2

2

（sinα+cosα）=-

3

5

，∴sinα+cosα=-

3 2

5

，
∴（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=

18

25

，即2sinαcosα=-

7

25

＜0，
∵0＜α＜π，
∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα-cosα＞0，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=

32

25

，
∴sinα-cosα=

4 2

5

，
則cos2α=cos²α-sin²α=（cosα+sinα）（cosα-sinα）=

24

25

．
故答案為：

24

25

點評：此題考查了二倍角的余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，以及完全平方公式的運用，熟練掌握公式是解本題的關鍵．