Question

【題目】設點為拋物線上的動點，是拋物線的焦點，當時，．

（1）求拋物線的方程；

（2）過點作圓：的切線，，分別交拋物線于點．當時，求面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）最小值．

【解析】

（1）利用拋物線的焦半徑公式求得值，進而得到拋物線方程；

（2）設過點的切線為，利用圓心到直線的距離等于半徑得到，化簡并借助韋達定理，可得，，設，則直線，與拋物線聯立，再由根與系數的關系可得，同理，再設直線，利用弦長公式求弦長，由點到直線距離公式求到直線的距離，代入三角形面積公式，換元后利用基本不等式和二次函數求最小值.

（1）當時，，

所以，故所求拋物線方程為.

（2）點為拋物線上的動點，則，

設過點的切線為，

則，

得，

是方程（*）式的兩個根，

所以，，

設，

因直線，與拋物線交于點A，

則得，

所以，即，

同理，

設直線，

則，

，

又，

，

所以

令，，

當且僅當，即時，取得最小值.