Question

4．已知函數f（x）=x³-ax²-3x．
（Ⅰ）若x=-$\frac{1}{3}$是f（x）的極大值點，求f（x）的單調遞減區間；
（Ⅱ）若f（x）在[1，+∞）上是增函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，是否存在實數b，使得函數g（x）=bx的圖象與函數f（x）的圖象恰有3個交點，若存在，求出b的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （I）首利用函數的導數與極值的關系求出a的值，確定函數在區間[1，4]上的單調性即可；
（Ⅱ）求出函數的導數，問題轉化為即a≤$\frac{{3x}^{2}-3}{2x}$=$\frac{3}{2}$（x-$\frac{1}{x}$）在x∈[1，+∞）上恒成立，令$g（x）=\frac{3}{2}（x-\frac{1}{x}）$，x∈[1，+∞），根據函數的單調性求出a的范圍即可；
（Ⅲ）可以先假設存在，將函數g（x）=bx的圖象與函數f（x）的圖象恰有3個不同的交點，等價于方程x³-4x²-3x=bx恰有3個不等的實數根，進一步轉化為方程x²-4x-3-b=0有兩個非零實數根，即可求得結論．

解答 解：（Ⅰ）∵f'（x）=3x²-2ax-3
∴$f'（-\frac{1}{3}）=3×{（-\frac{1}{3}）^2}-2a×（-\frac{1}{3}）-3=0$得a=4．
∴f'（x）=3x²-8x-3由3x²-8x-3＜0解得$-\frac{1}{3}＜x＜3$
f（x）的單調遞減區間為$[{-\frac{1}{3}，\;3}]$；
（Ⅱ）f′（x）=3x²-2ax-3≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，
即a≤$\frac{{3x}^{2}-3}{2x}$=$\frac{3}{2}$（x-$\frac{1}{x}$）在x∈[1，+∞）上恒成立，
令$g（x）=\frac{3}{2}（x-\frac{1}{x}）$，x∈[1，+∞）
∵$g'（x）=\frac{3}{2}（1+\frac{1}{x^2}）＞0$在x∈[1，+∞）上恒成立
∴$g（x）=\frac{3}{2}（x-\frac{1}{x}）$，在[1，+∞）上單調遞增
∴g（x）_min=g（1）=0
∴a≤0；                             
（Ⅲ）問題即為是否存在實數b，使得函數x³-4x²-3x=bx恰有3個不同根，
方程可化為x[x²-4x-（3+b）]=0 等價于 x²-4x-（3+b）=0有兩不等于0的實根，
則△＞0且b≠-3，
所以b＞-7，b≠-3．

點評 本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性、極值與最值，考查圖象的交點，熟練運用導數與函數單調性的關系，將圖象的交點問題轉化為方程根的研究是解題的關鍵．