Question

設橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，在軸負半軸上有一點，滿足，且．

（1）求橢圓的離心率；

（2）若過三點的圓與直線相切，求橢圓的方程；

（3）在（2）的條件下，過右焦點作斜率為的直線與橢圓交于兩點，線段的中垂線與軸相交于，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

（1） ；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）連接，由，，得到

,即,確定得到橢圓的離心率為；

（2）由，得，，的外接圓圓心為，半徑，

因為過三點的圓與直線相切，

，解得，即得所求．

（3）由（2）知，設直線的方程為代入橢圓方程整理得：．由已知得 恒成立．

設，由韋達定理得，

得到．

故中點為．

討論當時，當時的不同情況求解．

試題解析：（1）連接，因為，，所以

,即,故橢圓的離心率為； 3分

（2）由（1）知，得，，的外接圓圓心為，半徑，

因為過三點的圓與直線相切，

∴，解得：，．

所以所求橢圓方程為：． 7分

（3）由（2）知，設直線的方程為：

由 得：．

因為直線過點，所以 恒成立．

設，由韋達定理得： ，

所以．

故中點為． 10分

當時，為長軸，中點為原點，則； 11分

當時，中垂線方程為．

令，得．因為所以． 13分

綜上可得實數的取值范圍是． 14分

考點：1．橢圓的標準方程及其幾何性質；2．直線與橢圓的位置關系；3．直線與圓的位置關系．