Question

【題目】已知正方形，分別是的中點，將沿折起，如圖所示，記二面角的大小為

（1）證明：

（2）若為正三角形，試判斷點在平面內的身影是否在直線上，證明你的結論，并求角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）沿折起，其它邊不變，可知且，則有四邊形為平行四邊形，那么，又由于，，故；（2）解法一：過點A作，垂足為G，連接，由于，則有，故點A在CD的中垂線EF上，過點作，垂足為，連接，由已知得，故，則即是，設原正方形的邊長為，根據已知邊和角的關系可以求得；方法三：點在平面內的射影在直線上證法同法一，建立空間直角坐標系，先求平面CED的法向量，再求平面ADE的法向量，可得二面角的余弦值，進而得到．

解：（1）證明：分別是正方形的邊的中點，

∴且，則四邊形為平行四邊形，

∴.

又，而，

∴

（2）解法一：過點作，垂足為，連接.

∵為正三角形，，∴，

∴在垂直平分線上，又∵是的垂直平分線，

∴點在平面內的射影在直線上

過點作，垂足為，連接，則，∴是二面角的平面角，即.

設原正方形的邊長為，連接，在折后圖的中，，

∴為直角三角形，，∴.

在中，，∴，則，即.

解法二：點在平面內的射影在直線上，連接，在平面內過點作，垂足為

∵為正三角形，為的中點，

∴.

又∵，∴.

∵，∴

又∵且，

∴

∴為在平面內的射影，

∴點在平面內的射影在直線上

過點作，垂足為，連接，則，∴是二面角的平面角，即.

設原正方形的邊長為，連接，在折后圖的中，，

∴為直角三角形，，∴.

在中，，∴，則，即.

解法三：（同解法一）

點在平面內的射影在直線上，

如圖，連接，以點為坐標原點，為軸，為軸，過點作平行于的向量為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

設正方形的邊長為，連接，.所以，，，，.

又平面的一個法向量為，設平面的一個法向量為.

則，即，所以

所以，即.