Question

【題目】在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，直線的極坐標方程為.

（1）求曲線與直線的直角坐標方程.

（2）直線與軸的交點為，與曲線的交點為，，求的值.

Answer 1

【答案】(1) 的直角坐標方程為，的直角坐標方程為.(2)

【解析】

（1）利用極坐標與直角坐標的互化公式，即可求得曲線與直線的直角坐標方程.

（2）由（1）知，點的坐標為，求得直線的參數方程，把直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程，利用參數的幾何意義，即可求解.

（1）曲線的極坐標方程為，所以，

由得曲線的直角坐標方程為，

又因為直線的極坐標方程為，即，

所以直線的直角坐標方程為.

（2）由（1）知，點的坐標為，

不妨設直線的參數方程為（為參數），

曲線的直角坐標方程為，

把直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程并化簡得，

設方程的兩根分別為，，所以.