【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是等腰梯形，
，
，
是等邊三角形，點
在
上，且
．
（1）證明：
//平面
．
（2）若平面
平面
，求二面角
的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】
（1）連接
交
于點
，通過證明
//
，即可推證線面平行；
（2）取
中點為
，以為坐標原點建立空間直角坐標系，求得對應平面的法向量，利用向量法求二面角的余弦值即可.
（1）連接
交
于點，連接
．
∵在等腰梯形
中，
，
，
//，∴
，∵
，∴
，
∴
，∴
//，
又
平面
，
平面，
∴//平面．
（2）取
的中點，
的中點
，連接
，
，顯然
．
又平面
平面
，平面
平面
，
所以
平面．
因為、分別為、的中點，且在等腰梯形中，，
所以
．以為原點建立如所示的空間直角坐標系
，
設
，則
，
，
，
，
∴
，
∴
易得
為平面
的一個法向量，
設平面
的一個法向量為
，
可得
，故
，
令
，可得
，
，則
．
設二面角
的平面角為
，則
，
即二面角的余弦值為．
能考試期末沖刺卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】天文學中為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學家喜帕恰斯(
，又名依巴谷)在公元前二世紀首先提出了星等這個概念.星等的數值越小，星星就越亮；星等的數值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度計在天體光度測量中的應用，英國天文學家普森(
)又提出了衡量天體明暗程度的亮度的概念.天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足
.其中星等為
的星的亮度為
.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的
倍，則與最接近的是(當
較小時， 
)
A.1.24B.1.25C.1.26D.1.27
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
，直線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線與直線的直角坐標方程.
（2）直線與軸的交點為
，與曲線的交點為
，
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
是拋物線
的焦點，點
在
軸上，
為坐標原點，且滿足
，經過點且垂直于軸的直線與拋物線
交于
、
兩點，且
.
（1）求拋物線的方程；
（2）直線
與拋物線交于
、
兩點，若
，求點到直線的最大距離.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某飼料廠原有陳糧10噸，又購進新糧x噸，現將糧食總庫存量的一半精加工為飼料.若被精加工的新糧最多可用
噸，被精加工的陳糧最多可用y2噸，記
，則函數
的圖象為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若存在實常數k和b，使得函數
對其公共定義域上的任意實數x都滿足：
恒成立，則稱此直線
的“隔離直線”，已知函數
(e為自然對數的底數)，有下列命題：
①
內單調遞增；
②
之間存在“隔離直線”，且b的最小值為
；
③之間存在“隔離直線”，且k的取值范圍是
；
④
之間存在唯一的“隔離直線”
．
其中真命題的序號為__________．(請填寫正確命題的序號)
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點生活或配合其他民俗活動的民間藝術；蘊含了極致的數學美和豐富的傳統文化信息，現有一幅剪紙的設計圖，其中的4個小圓均過正方形的中心，且內切于正方形的兩鄰邊.若在正方形內隨機取一點，則該點取自黑色部分的概率為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，
，
，
，且
，
．
（1）證明：
平面
；
（2）在線段
上，是否存在一點
，使得二面角
的大小為
？如果存在，求
的值；如果不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設一個袋子里有紅、黃、藍色小球各一個現每次從袋子里取出一個球(取出某色球的概率均相同)，確定顏色后放回，直到連續兩次均取出紅色球時為止，記此時取出球的次數為ξ，則ξ的數學期望為_____ .
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