Question

16．已知函數$f（x）=\frac{1}{{{e^{|x|}}}}-{x^2}$，若$f（{3^{a-1}}）＞f（-\frac{1}{9}）$，則實數a的取值范圍是（-∞，-1）．

Answer 1

分析 先由解析式求出函數的定義域，化簡f（-x）后由偶函數的定義判斷，由函數的單調性、偶函數的性質等價轉化不等式，可求出實數a的取值范圍．

解答 解：函數$f（x）=\frac{1}{{{e^{|x|}}}}-{x^2}$的定義域是R，
∵$f（-x）=\frac{1}{{e}^{|-x|}}-{（-x）}^{2}$=$\frac{1}{{e}^{|x|}}-{x}^{2}$=f（x），
∴函數f（x）在R上是偶函數，
∵偶函數f（x）在[0，+∞）上是減函數，
∴不等式$f（{3}^{a-1}）＞f（-\frac{1}{9}）$等價于：$|{3}^{a-1}|＜|-\frac{1}{9}|$，
則3^a-1＜3^-2，即a-1＜-2，解得a＜-1，
∴實數a的取值范圍是（-∞，-1），
故答案為：（-∞，-1）．

點評 本題考查函數奇偶性的定義，函數的單調性，及偶函數性質的應用，考查轉化思想，化簡、變形能力．