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16.已知函數$f(x)=\frac{1}{{{e^{|x|}}}}-{x^2}$,若$f({3^{a-1}})>f(-\frac{1}{9})$,則實數a的取值范圍是(-∞,-1).

分析 先由解析式求出函數的定義域,化簡f(-x)后由偶函數的定義判斷,由函數的單調性、偶函數的性質等價轉化不等式,可求出實數a的取值范圍.

解答 解:函數$f(x)=\frac{1}{{{e^{|x|}}}}-{x^2}$的定義域是R,
∵$f(-x)=\frac{1}{{e}^{|-x|}}-{(-x)}^{2}$=$\frac{1}{{e}^{|x|}}-{x}^{2}$=f(x),
∴函數f(x)在R上是偶函數,
∵偶函數f(x)在[0,+∞)上是減函數,
∴不等式$f({3}^{a-1})>f(-\frac{1}{9})$等價于:$|{3}^{a-1}|<|-\frac{1}{9}|$,
則3a-1<3-2,即a-1<-2,解得a<-1,
∴實數a的取值范圍是(-∞,-1),
故答案為:(-∞,-1).

點評 本題考查函數奇偶性的定義,函數的單調性,及偶函數性質的應用,考查轉化思想,化簡、變形能力.

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