Question

8．已知二次函數y=f（x）滿足f（-2）=f（4）=-16，且函數f（x）最大值為2．
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）求函數y=f（x）在[t，t+1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知中f（-2）=f（4），可得函數圖象的對稱軸為直線x=1，結合函數f（x）最大值為2，設出函數的頂點式，進而可得答案；
（2）分析給定區間[t，t+1]與對稱軸的位置，進而得到函數的在[t，t+1]上的單調性和最大值．

解答 解：（1）因為f（-2）=f（4），
所以函數圖象的對稱軸為直線x=1，
又因為f（x）_max=2，
所以設f（x）=a（x-1）²+2，a＜0，
由f（-2）=a（-2-1）²+2=-16得a=-2，
所以f（x）=-2（x-1）²+2=-2x²+4x，
即所求函數y=f（x）的解析式為f（x）=-2x²+4x．
（2）①當t+1≤1即t≤0時，
y=f（x）在[t，t+1]上單調遞增，
所以f（x）_max=f（t+1）=-2（t+1-1）²+2=-2t²+2；
②當t≥1時，y=f（x）在[t，t+1]上單調遞減，
所以f（x）_max=f（t）=-2（t-1）²+2=-2t²+4t；
③當t＜1＜t+1即0＜t＜1時，y=f（x）在[t，1]上單調遞增，在[1，t+1]上單調遞減，
所以f（x）_max=f（1）=-2（1-1）²+2=2．
綜上所述，f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}-2{t}^{2}+2，t≤0\\ 2，0＜t＜1\\-2{t}^{2}+4t，t≥1\end{array}\right.$

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．