Question

3．函數f（x）=ax+$\frac{b}{x}$（a，b是非零實數）的圖象過點（1，3）和（2，3）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）判斷函數f（x）奇偶性，并給出證明；
（3）用定義證明函數f（x）在區間（2，+∞）上是增函數．

Answer 1

分析 （1）根據函數的圖象過點（1，3）和（2，3），用待定系數法求出a、b的值，可得函數的解析式．
（2）先判定函數的定義域關于原點對稱，再根據f（-x）=-f（x），可得函數f（x）為奇函數．
（3）利用增函數的定義證明函數f（x）在區間（2，+∞）上是增函數．

解答 解：（1）∵函數f（x）=ax+$\frac{b}{x}$（a，b是非零實數）的圖象過點（1，3）和（2，3），
∴f（1）=a+b=3，f（2）=2a+$\frac{b}{2}$=3，解得a=1，b=2，∴f（x）=x+$\frac{2}{x}$．
（2）根據f（x）的定義域為{x|x≠0}，關于原點對稱，且滿足f（-x）=-x+$\frac{2}{-x}$=-f（x），可得函數f（x）為奇函數．
（3）設x₂＞x₁＞2，∵f（x₂）-f（x₁）=x₂-x₁+$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$=（ x₂-x₁ ）•（1-$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$），
由題設可得  x₂-x₁＞0，1-$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$＞0，∴f（x₂）-f（x₁）＞0，故函數f（x）在區間（2，+∞）上是增函數．

點評 本題主要考查用待定系數法求函數的解析式，函數的奇偶性的判定，利用函數的單調性的定義證明函數的單調性，屬于中檔題．