Question

若一個(gè)動點(diǎn)P(x，y)到兩個(gè)定點(diǎn)A(-1，0)，A′(1，0)的距離和為定值m，試求P點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

思路分析：定點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和為定值m，而兩定點(diǎn)之間的距離是2，因此要分類考慮m與2的大小關(guān)系，其大小關(guān)系是我們解決問題的關(guān)鍵.

解：∵|PA|+|PA′|=m，|AA′|=2，|PA|+|PA′|≥|AA′|，∴m≥2.

(1)當(dāng)m=2時(shí)，P點(diǎn)的軌跡就是線段AA′.∴其方程為y=0 (-1≤x≤1).

(2)當(dāng)m＞2時(shí)，由橢圓的定義知，點(diǎn)P的軌跡是以A、A′為焦點(diǎn)的橢圓.

∵2c=2，2a=m，∴a=，c=1，b²=a²-c²=-1

.∴點(diǎn)P的軌跡方程為=1.

    深化升華 平面內(nèi)一動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和等于常數(shù)時(shí)，動點(diǎn)的軌跡不一定是橢圓.當(dāng)動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和等于兩定點(diǎn)之間的距離時(shí)，動點(diǎn)的軌跡是線段；當(dāng)動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和(常數(shù))大于兩定點(diǎn)之間的距離時(shí)，動點(diǎn)的軌跡是橢圓.