Question

數列的前n項和為,存在常數A,B,C,使得對任意正整數n都成立.
⑴若數列為等差數列,求證:3A B+C=0;
⑵若設數列的前n項和為,求;
⑶若C=0,是首項為1的等差數列,設數列的前2014項和為P,求不超過P的最大整數的值.

Answer 1

（1）詳見解析，（2），（3）2014.

試題分析：（1）研究特殊數列問題，一般從其特征量出發. 因為為等差數列,設公差為,由,得,根據恒等式對應項系數相等得：所以代入得：. （2）本題實質為求通項. 因為,所以,當時,, 所以即即,而,所以數列是首項為,公比為的等比數列,所以.由錯位相減法得，（3）因為是首項為的等差數列,由⑴知,公差,所以.化簡數列通項，再由裂項相消法得，所以不超過的最大整數為2014.
解 ⑴因為為等差數列,設公差為,由,
得,           2分
對任意正整數所以                   4分
所以  .                       6分
⑵ 因為,所以,
當時,,
所以即即,而,
所以數列是首項為,公比為的等比數列,所以.      9分
于是.所以①,,②
得.
所以.                                12分
⑶ 因為是首項為的等差數列,由⑴知,公差,所以.
而
,                    14分
所以不超過的最大整數為2014.                         16分