Question

6．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某四棱錐的三視圖，已知其俯視圖是正三角形，則該四棱錐的外接球的表面積是（　　）

• A． $\frac{19π}{3}$
• B． $\frac{22π}{3}$
• C． 19π
• D． 22π

Answer 1

分析 根據(jù)四棱錐的三視圖知該四棱錐底面為矩形，高為$\sqrt{3}$的四棱錐；
還原出長方體，設該四棱錐的外接球球心為O，求出外接球的半徑，
計算外接球的表面積．

解答 解：根據(jù)四棱錐的三視圖，知該四棱錐底面為矩形，高為$\sqrt{3}$的四棱錐；
且側(cè)面PAB⊥底面ABCD，如圖所示；

還原出長方體是長為2，寬為1，高為$\sqrt{3}$．
設該四棱錐的外接球球心為O，則
過O作OM⊥平面PAB，M為△PAB的外心，
作ON⊥平面ABCD，則N為矩形ABCD對角線的交點；
∴OM=$\frac{1}{2}$，ON=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴外接球的半徑滿足
R²=ON²+AN²=${（\frac{\sqrt{3}}{3}）}^{2}$+${（\frac{\sqrt{{1}^{2}{+2}^{2}}}{2}）}^{2}$=$\frac{19}{12}$，
∴外接球的表面積為
S=4πR²=4π×$\frac{19}{12}$=$\frac{19π}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查了由空間幾何體三視圖求幾何體外接球的表面積的應用問題，是綜合性題目．