Question

4．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{9}$-$\frac{y^2}{16}$=1的左右焦點分別為F₁，F₂，P為C的右支上一點，且|PF₂|=$\frac{3}{5}$|F₁F₂|，則△PF₁F₂的面積等于（　　）

• A． 8
• B． $8\sqrt{7}$
• C． $8\sqrt{14}$
• D． 16

Answer 1

分析 先根據雙曲線方程求出焦點坐標，再利用雙曲線的性質求得||PF₁|，求出cos∠PF₁F₂=$\frac{144+100-36}{2×12×10}$=$\frac{13}{15}$，sin∠PF₁F₂=$\frac{2\sqrt{14}}{15}$，即可求出△PF₁F₂的面積．

解答 解：∵雙曲線C：$\frac{x^2}{9}$-$\frac{y^2}{16}$=1中a=3，b=4，c=5
∴F₁（-5，0），F₂（5，0）
∵|PF₂|=$\frac{3}{5}$|F₁F₂|，
∴|PF₁|=2a+|PF₂|=6+6=12，|PF₂|=6，|F₁F₂|=10
∴cos∠PF₁F₂=$\frac{144+100-36}{2×12×10}$=$\frac{13}{15}$，
∴sin∠PF₁F₂=$\frac{2\sqrt{14}}{15}$
∴△PF₁F₂的面積為$\frac{1}{2}×12×10×\frac{2\sqrt{14}}{15}$=8$\sqrt{14}$．
故選：C．

點評 此題重點考查雙曲線的第一定義，雙曲線中與焦點，準線有關三角形問題；屬于中檔題．