Question

9．設f（x）=|ax-2|．
（1）若關于x的不等式f（x）＜3的解集為（-$\frac{5}{3}$，$\frac{1}{3}$），求a的值；
（2）f（x）+f（-x）≥a對于任意x∈R恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件知$-\frac{5}{3}$與$\frac{1}{3}$是方程|ax-2|=3的兩個根，即：$|{-\frac{5}{3}a-2}|=3$且$|{\frac{1}{3}a-2}|=3$，由此求a的值；
（2）由絕對值不等式性質：f（x）+f（-x）≥|（ax-2）-（ax+2）|=4，即可求實數a的取值范圍．

解答 解：（1）由條件知$-\frac{5}{3}$與$\frac{1}{3}$是方程|ax-2|=3的兩個根，
即：$|{-\frac{5}{3}a-2}|=3$且$|{\frac{1}{3}a-2}|=3$----------------（3分）
解得a=-3--------------（5分）
（2）設g（x）=f（x）+f（-x）=|ax-2|+|ax+2|，
由絕對值不等式性質：g（x）=f（x）+f（-x）≥|（ax-2）-（ax+2）|=4，即：g（x）_min=4，
若f（x）+f（-x）≥a對于任意x∈R恒成立，只需：a≤4--------（10分）

點評 本題考查絕對值不等式，考查絕對值不等式的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．