Question

在平面直角坐標系中，動點P到x軸的距離的平方恰比點P的橫縱坐標的乘積小1．記動點P的軌跡為C，下列對于曲線C的描述正確的是

 

①曲線C關于原點對稱；
②曲線C關于直線y=x對稱；
③當變量|y|逐漸增大時，曲線C無限接近直線y=x；
④當變量|y|逐漸減小時，曲線C與x軸無限接近．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設P（x，y），由題意可得：y²=xy-1，可得曲線C．
①把（-x，-y）代入曲線C得到y²=xy-1，曲線方程不變，即可得出對稱性；
②把點（y，x）代入曲線C：得到曲線x²=xy-1，即可判斷出曲線C關于直線y=x不對稱；
③把曲線C的方程變為：

x

y

-

1

y2

=1，當變量|y|逐漸增大時，

1

y2

→0，

x

y

→1，可得曲線C無限接近直線y=x；
④曲線C的方程變為x=y+

1

y

，當變量|y|逐漸減小時，x→∞，可得曲線C與x軸無限接近．

解答： 解：設P（x，y），由題意可得：y²=xy-1，可得曲線C．
①把（-x，-y）代入曲線C得到y²=xy-1，曲線方程不變，因此曲線C關于原點對稱，正確；
②把點（y，x）代入曲線C：得到曲線x²=xy-1，可得曲線C關于直線y=x不對稱，不正確；
③把曲線C的方程變為：

x

y

-

1

y2

=1，當變量|y|逐漸增大時，

1

y2

→0，

x

y

→1，因此曲線C無限接近直線y=x，正確；
④曲線C的方程變為x=y+

1

y

，當變量|y|逐漸減小時，x→∞，因此曲線C與x軸無限接近，正確．
綜上可得：對于曲線C的描述正確的是①③④．
故答案為：①③④．

點評：本題考查了曲線的軌跡及其性質，考查了推理能力，屬于中檔題．