Question

15．已知函數$f（x）=\sqrt{5-x}+lg（x+1）$的定義域為集合A，函數g（x）=lg（x²-2x+a）的定義域為集合B．
（Ⅰ）當a=-8時，求A∩B；
（Ⅱ）若A∩∁_RB={x|-1＜x≤3}，求a的值．

Answer 1

分析 （ I）求出函數f（x）、g（x）的定義域，再根據交集的定義寫出A∩B；
（ II）根據補集與交集的定義，結合一元二次不等式與方程的知識，即可求出a的值．

解答 解：（ I）函數$f（x）=\sqrt{5-x}+lg（x+1）$有意義，
則有$\left\{\begin{array}{l}5-x≥0\\ x+1＞0\end{array}\right.$，
解得-1＜x≤5，-----------（2分）
當a=-8時，g（x）=lg（x²-2x-8），
所以x²-2x-8＞0，
解得x＞4或x＜-2，-----------（4分）
所以A∩B={x|4＜x≤5}；------------（5分）
（II）∁_RB={x|x²-2x+a≤0}={x|x₁≤x≤x₂}，--------------（6分）
由A∩（∁_RB）={x|-1＜x≤3}，
可得x₁≤-1，x₂=3，-------------（8分）
將x₂=3帶入方程，解得a=-3，x₁=-1，滿足題意，
所以a=-3．--------------（10分）

點評 本題考查了集合的定義與運算問題，也考查了一元二次不等式與方程的應用問題，是綜合性題目．