Question

4．已知a＞0，b＞0且$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=1，
（1）求ab最小值；
（2）求a+b的最小值．

Answer 1

分析 （1）由條件和基本不等式求出ab最小值；
（2）由條件和“1”的代換化簡a+b，由基本不等式求出a+b的最小值．

解答 解：（1）∵a＞0，b＞0且$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=1，
∴$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$≥$2\sqrt{\frac{1}{a}•\frac{2}{b}}$=$2\sqrt{\frac{2}{ab}}$，則$2\sqrt{\frac{2}{ab}}≤1$，
即ab≥8，當且僅當$\frac{1}{a}=\frac{2}{b}$時取等號，
∴ab的最小值是8；
（2）∵a＞0，b＞0且$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=1，
∴a+b=（$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$）（a+b）=3+$\frac{b}{a}+\frac{2a}{b}$
≥3+$2\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{2a}{b}}$=$3+2\sqrt{2}$，
當且僅當$\frac{b}{a}=\frac{2a}{b}$時取等號，
∴a+b的最小值是$3+2\sqrt{2}$．

點評 本題考查基本不等式在求最值中的應用，以及利用“1”的代換，考查轉化思想，化簡、變形能力．