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定義:數列{an}對一切正整數n均滿足
an+an+22
an+1
,稱數列{an}為“凸數列”,一下關于“凸數列”的說法:
(1)等差數列{an}一定是凸數列
(2)首項a1>0,公比q>0且q≠1的等比數列{an}一定是凸數列
(3)若數列{an}為凸數列,則數列{an+1-an}是單調遞增數列
(4)凸數列{an}為單調遞增數列的充要條件是存在n0∈N*,使得an0+1an0
其中正確說法的個數是
 
分析:(1)由等差數列{an}的性質可得:
an+an+2
2
=an+1
,不滿足
an+an+2
2
an+1
,即可判斷出.
(2)由于首項a1>0,公比q>0且q≠1的等比數列{an},可得an>0.
可得
an+an+2
2
=
an+anq2
2
=an
1+q2
2
>anq=an+1.即可判斷出.
(3)由于數列{an}為凸數列,可知:數列{an}對一切正整數n均滿足
an+an+2
2
an+1

可得:an+2-an+1>an+1-an,即可判斷出數列{an+1-an}的單調性.
(4)①凸數列{an}為單調遞增數列可得對于任意的n0∈N*,都有an0+1an0
②對于凸數列{an}存在n0∈N*,使得an0+1an0.則an0+2-an0+1>2an0+1-an0-an0+1=an0+1-an0>0.可得數列{an}從n0項開始是單調遞增數列.如果n0>1,則此數列不一定是遞增數列.
解答:解:(1)由等差數列{an}的性質可得:
an+an+2
2
=an+1
,不滿足
an+an+2
2
an+1
,因此不是“凸數列”.
(2)∵首項a1>0,公比q>0且q≠1的等比數列{an},
an=a1qn-1>0
an+an+2
2
=
an+anq2
2
=an
1+q2
2
>anq=an+1.因此是“凸數列”.故正確.
(3)∵數列{an}為凸數列,∴數列{an}對一切正整數n均滿足
an+an+2
2
an+1

∴an+2-an+1>an+1-an
∴數列{an+1-an}是單調遞增數列.因此正確.
(4)①凸數列{an}為單調遞增數列可得對于任意的n0∈N*,都有an0+1an0
②對于凸數列{an}存在n0∈N*,使得an0+1an0
an0+2-an0+1>2an0+1-an0-an0+1=an0+1-an0>0.
如果n0>1,則此數列不一定是遞增數列.
因此(4)不正確.
綜上可知:只有(2)(3)正確.
故答案為:2.
點評:本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其性質、新定義“凸數列”的意義,屬于難題.
練習冊系列答案
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9、定義:若數列{an}對任意的正整數n,都有|an+1|+|an|=d(d為常數),則稱{an}為“絕對和數列”,d叫做“絕對公和”,已知“絕對和數列”{an}中,a1=2,“絕對公和”d=2,則其前2010項和S2010的最小值為(  )

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-2006
-2006

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已知函數f(x)=
x
2x2+1
,定義正數數列ana1=
1
2
,an+12=2anf(an),n∈N+
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)記bn=
4+(-1)n[
1
a
2
2n+2
-2]
1-(-1)n[
1
a
2
2n+2
-2]
,設數列{bn}的前n項和為Rn
.已知正實數λ滿足:對任意正整數n,Rn≤λn恒成立,求λ的最小值.

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-2008
-2008

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