Question

定義：若數列{a_n}對任意的正整數n，都有|a_n+1|+|a_n|=d（d為常數），則稱{a_n}為“絕對和數列”，d叫做“絕對公和”，已知“絕對和數列”{a_n}中，a₁=2，“絕對公和”d=2，則其前2012項和S₂₀₁₂的最小值為

-2008

．

Answer 1

分析：利用“絕對和數列”的定義寫出數列的前幾項找出規律，當n為偶數時a_n為0；當n為奇數且不為1時，|a_n|=2，為使和最小，令非0的數都取-2 （首項除外），從而可求其前2012項和S₂₀₁₂的最小值．

解答：解：∵|a_n+1|+|a_n|=2，a₁=2，
∴a₂=0，
∴|a₃|=2
∴a₄=0，
∴|a₅|=0
…
∴|a₁|=|a₃|=|a₅|=…=|a₂₀₁₁|=2，
a₂=a₄=…=a₂₀₁₂=0，
為使前2012項和S₂₀₁₂最小，
則a₃=a₅=…=a₂₀₁₁=-2，
∴前2012項和S₂₀₁₂的最小值為：2+（-2）×1005=-2008．
故答案為：-2008．

點評：本題考查求數列的求和，考查對新概念“絕對和數列”的理解與應用，考查分類討論思想，令a₃=a₅=…=a₂₀₁₁=-2是解題的關鍵，屬于中檔題．