Question

已知函數f(x)=

x

2x2+1

，定義正數數列a_n：a1=

1

2

，a_n+1²=2a_nf（a_n），n∈N⁺．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）記bn=

4+(-1)n[ 1 a 2 2n+2 -2]

1-(-1)n[ 1 a 2 2n+2 -2]

，設數列{bn}的前n項和為Rn．已知正實數λ滿足：對任意正整數n，R_n≤λn恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

分析：（1）首先將函數代入遞推式，然后進行化簡得出2（

1

a 2 n+1

-2）=

1

a 2 n

-2，記C_n=

1

a 2 n

-2從而確定c_n是一個以

1

2

為公比的等比數列，進而求出數列通項公式．
（2）由 bn=4+

5

(-4)n-1

知R_n=b₁+b₂+…+b_2k+1=4n+5×(-

1

41+1

+

1

42-1

-

1

43+1

+…-

1

42k+1+1

)=4n+5×[-

1

41+1

+(

1

42-1

-

1

43+1

)+…+(

1

42k-1

-

1

42k+1+1

)]＞4n-1．由此入手能推導出正實數λ的最小值為4．

解答：解：（1）∵函數f(x)=

x

2x2+1

，
∴a_n+1²=2a_nf（a_n）=

2an2

2an2+1

，
∴a_n+1²+2a_n²a_n+1²=2a_n²⇒

2

a 2 n+1

-

1

a 2 n

=2⇒2（

1

a 2 n+1

-2）=

1

a 2 n

-2

記C_n=

1

a 2 n

-2∴cn是一個以

1

2

為公比的等比數列，c₁=2
∴c_n=2^2-n，而

a

2 n

=

1

cn+2

于是可以得到正數數列a_n=

2n-1 2+2n

（2）由（1）整理得bn=

4+(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )n

=4+

5

(-4)n-1

一方面，已知R_n≤λn恒成立，取n為大于1的奇數時，設n=2k+1（k∈N⁺）
則R_n=b₁+b₂+…+b_2k+1
=4n+5×(-

1

41+1

+

1

42-1

-

1

43+1

+…-

1

42k+1+1

)
=4n+5×[-

1

41+1

+(

1

42-1

-

1

43+1

)+…+(

1

42k-1

-

1

42k+1+1

)]
＞4n-1
∴λn≥R_n＞4n-1，即（λ-4）n＞-1對一切大于1的奇數n恒成立
∴λ≥4否則，（λ-4）n＞-1只對滿足 n＜

1

4-λ

的正奇數n成立，矛盾．
另一方面，當λ=4時，對一切的正整數n都有R_n≤4n
事實上，對任意的正整數k，有
b2n-1+b2n=8+

5

(-4)2k+1-1

+

5

(-4)2k-1

=8+

5

(16)k-1

-

20

(16)k+4

=8-

15×16k-40

(16k-1)(16k+4)

＜8
∴當n為偶數時，設n=2m（m∈N⁺）
則R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2n-1+b_2n）
＜8m=4nw、w、w、k、s、5、u、c、o、m
當n為奇數時，設n=2m-1（m∈N⁺）
則R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2n-3+b_2n-2）+b_2n-1
＜8（m-1）+4=8m-4=4n
∴對一切的正整數n，都有R_n≤4n
綜上所述，實數λ的最小值為4．

點評：本題考查了本題主要考查數列、不等式等基礎知識、考查化歸思想、分類整合思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力，此題綜合性很強，屬于難題．