Question

已知數(shù)列{a_n},a₁=2a+1(a≠-1的常數(shù)),a_n=2a_n-1+n²-4n+2(n≥2,n∈N^∗),數(shù)列{b_n}的首項(xiàng), b₁=a,b_n=a_n+n²(n≥2,n∈N^∗).

(1)證明:{b_n}從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列并求{b_n}通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和,且{S_n}是等比數(shù)列,求實(shí)數(shù)a的值;(3)當(dāng)a>0時(shí),求數(shù)列{a_n}的最小項(xiàng).

 

Answer 1

【答案】

解：（1）；（2） 。

（3）當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)為8a-1； 當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)為4a；當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)為2a+1。   當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)為4a或8a-1當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)為4a或2a+1；

【解析】b_n=a_n+n²

所以構(gòu)造出，化簡(jiǎn)成與b_n的代數(shù)式；是等比數(shù)列，∴3a+4=0；分類討論，a_{n單調(diào)性}

解：

(n≥2)

，∵,,即從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列

（2）由（1）求得 ∵是等比數(shù)列, ∴3a+4=0，即 。

（3）由已知當(dāng)時(shí)，，所以,

所以數(shù)列為2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，顯然最小項(xiàng)是前三項(xiàng)中的一項(xiàng)。

當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)為8a-1； 當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)為4a；當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)為2a+1。   

當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)為4a或8a-1當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)為4a或2a+1；