Question

已知函數，，且在點

處的切線方程為.

（1）求的值；

（2）若函數在區間內有且僅有一個極值點，求的取值范圍；

（3）設為兩曲線，的交點，且兩曲線在交點處的切線分別為.若取，試判斷當直線與軸圍成等腰三角形時值的個數并說明理由.

 

Answer 1

（1） ；（2） ；（3）2個

【解析】

試題分析：（1）由函數，在點處的切線方程為.所以對函數求導，根據斜率為1以及過點（1,0）兩個條件即可求出結論.

（2）由函數，對函數求導，并令可解得兩個根，由于函數在區間內有且僅有一個極值點，的根在內有且僅有一個根.所以通過分類討論即可求的取值范圍.

（3）兩曲線在交點處的切線分別為.若取，當直線與軸圍成等腰三角形時.通過求導求出兩函數的切線的斜率，即可得到這兩斜率不可能是相等，所以依題意可得到兩切線傾斜角有兩倍的關系，再通過解方程和函數的單調性的判斷即可得到結論.

（1），∴，又，

∴． 3分

（2）；

∴

由得，

∴或． 5分

∵，當且僅當或時，函數在區間內有且僅有一個極值點． 6分

若，即，當時；當時，函數有極大值點，

若，即時，當時；當時，函數有極大值點，

綜上，的取值范圍是． 8分

（3）當時，設兩切線的傾斜角分別為，

則，

∵， ∴均為銳角， 9分

當，即時，若直線能與軸圍成等腰三角形，則；當，即時，若直線能與軸圍成等腰三角形，則．

由得，，

得，即，

此方程有唯一解，直線能與軸圍成一個等腰三角形． 11分

由得， ，

得，即，

設，，

當時，，∴在單調遞增，則在單調遞

增，由于，且，所以，則，

即方程在有唯一解，直線能與軸圍成一個等腰三角形．

因此，當時，有兩處符合題意，所以直線能與軸圍成等腰三角形時，值的個數

有2個． 14分

考點：1.導數的幾何意義.2.函數的極值.3.函數導數的應用.4.分析問題解決問題的能力.5.等價變換的數學思想.