Question

如圖，已知點A是橢圓

x2

3b2

+

y2

b2

=1（b＞0）的右頂點，點C（t，t）（t＞0）在橢圓上，且滿足

OC

•

OA

=

3

2

（其中O為坐標原點）
（Ⅰ）求橢圓的方程
（Ⅱ）若直線l與橢圓交于兩點M，N，當

OM

+

ON

=

2

OC

，求△OMN的面積．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（I）由于點A是橢圓

x2

3b2

+

y2

b2

=1（b＞0）的右頂點，可得A(

3

b，0)．點C（t，t）（t＞0）在橢圓上，可得

t2

3b2

+

t2

b2

=1．由于

OC

•

OA

=

3

2

，可得

3

bt=

3

2

，聯立解出即可．
（II）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．由于

OM

+

ON

=

2

OC

，可得x₁+x₂=

6

2

=y₁+y₂．設直線l的方程為y=kx+t．與橢圓的方程聯立可得（1+3k²）t²+6ktx+3t²-3=0，利用根與系數的關系可解得k，t．|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

，利用點到直線的距離公式可得：原點O到直線l距離d．利用S_△OMN=

1

2

•d•|MN|即可得出．

解答： 解：（I）∵點A是橢圓

x2

3b2

+

y2

b2

=1（b＞0）的右頂點，∴A(

3

b，0)．
點C（t，t）（t＞0）在橢圓上，∴

t2

3b2

+

t2

b2

=1．
∵

OC

•

OA

=

3

2

，∴

3

bt=

3

2

，
解得b²=1，t=

3

2

．
∴橢圓的方程為：

x2

3

+y2=1．
（II）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
∵

OM

+

ON

=

2

OC

，
∴x₁+x₂=

6

2

=y₁+y₂．
設直線l的方程為y=kx+t．
聯立

y=kx+t x2+3y2=3

，
化為（1+3k²）t²+6ktx+3t²-3=0，
∴x₁+x₂=-

6kt

1+3k2

，x1x2=

3t2-3

1+3k2

．
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2t=

-6k2t

1+3k2

+2t=

2t

1+3k2

．
∴-

6kt

1+3k2

=

2t

1+3k2

=

6

2

．
解得k=-

1

3

，t=

6

3

．
∴x₁+x₂=

6

2

，x₁x₂=-

3

4

．
∴|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5

．
原點O到直線l：y=-

1

3

x+

6

3

的距離d=

6 3

1+ 1 9

=

6

10

．
∴S_△OMN=

1

2

•d•|MN|=

1

2

×

6

10

×

5

=

3

2

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系、弦長公式、點到直線的距離公式公式、三角形的面積計算公式、向量的坐標運算，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．