Question

（本小題滿分13分）提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當時，車流速度是車流密度的一次函數．

（Ⅰ）當時，求函數的表達式；

（Ⅱ）當車流密度為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：

輛/小時）可以達到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時）

 

Answer 1

（1） =； （2） 當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時．

【解析】

試題分析： （1）本題是一個分段函數，當車流量小于等于20時，速度為60千米/小時，當車流量大于20時小于或等于200時通過兩端點解出一次函數的解析式．（2）通過計算分段函數一個是一次函數，一個是二次函數來確定最大值．本題屬于分段函數的應用，這類應用題關鍵就是審清題意．分段函數的最大值是分別求出各段函數的最大值，再求出總的最大值．

試題解析：（Ⅰ）由題意：當時，；當時，設，顯然在是減函數，由已知得，解得

故函數的表達式為= 6分

（Ⅱ）依題意并由（Ⅰ）可得 8分

當時，為增函數，故當時，其最大值為；

當時，，

當且僅當，即時，等號成立．

所以，當時，在區(qū)間上取得最大值． ．12分

綜上，當時，在區(qū)間上取得最大值，

即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，

最大值約為3333輛/小時 ．．．13分

考點：函數的應用問題．