Question

已知直線y=x與函數g（x）=

1

x

（x＞0）的圖象交于點Q，若P，M分別是直線y=x與函數g（x）=

1

x

（x＞0）的圖象上異于點Q的兩點，若對于任意點M，有|PM|≥|PQ|恒成立，則點P橫坐標的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數的圖象

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：作圖輔助，易知Q（1，1），設P（p，p），則M（m，

1

m

），（p≠1，m≠1，m＞0）；從而求出|PM|=

(m-p)2+( 1 m -p)2

，|PQ|=

(p-1)2+(p-1)2

；從而化為p≤

m2+ 1 m2 -2

2(m+ 1 m -2)

恒成立；從而解得．

解答： 解：如圖，易知Q（1，1），設P（p，p），則M（m，

1

m

），（p≠1，m≠1，m＞0）；
則|PM|=

(m-p)2+( 1 m -p)2

，
|PQ|=

(p-1)2+(p-1)2

；
則|PM|≥|PQ|可化為

(m-p)2+( 1 m -p)2

≥

(p-1)2+(p-1)2

；
化簡得，m²+

1

m2

-2（m+

1

m

）p≥2-4p；
即p≤

m2+ 1 m2 -2

2(m+ 1 m -2)

恒成立；

m2+ 1 m2 -2

2(m+ 1 m -2)

=

m+ 1 m +2

2

＞

2+2

2

=2；
故p≤2；
又∵P、Q互異，
∴p≤2且p≠1；
故答案為：p≤2且p≠1．

點評：本題考查了學生的作圖分析的能力及基本不等式及恒成立問題，屬于中檔題．