Question

已知橢圓C：的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，直線與以橢圓C的右焦點為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切．

（1）求橢圓的方程．

（2）設為橢圓上一點，若過點的直線與橢圓相交于不同的兩點和,且滿足（O為坐標原點），求實數的取值范圍

 

Answer 1

（1） ；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由題意可得圓的方程為,圓心到直線的距離；

根據橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形， b=c, 代入*式得，即可得到所求橢圓方程．

（2）由題意知直線的斜率存在，設直線方程為，設

將直線方程代入橢圓方程得：

根據得到；

設,應用韋達定理．

討論當k=0，的情況，確定的不等式．

試題解析：（1）由題意：以橢圓C的右焦點為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓的方程為,

∴圓心到直線的距離

∵橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形， b=c, 代入*式得 ∴

故所求橢圓方程為 4分

（2）由題意知直線的斜率存在，設直線方程為，設

將直線方程代入橢圓方程得： 6分

∴

∴

設,則 8分

當k=0時，直線l的方程為y=0,此時t=0，成立，故，t=0符合題意。

當時

得

∴ 10分

將上式代入橢圓方程得：

整理得：

由知

所以 12分

考點：1．橢圓的方程及其幾何性質；2．直線與橢圓的位置關系；3．直線與圓的位置關系．