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已知函數 ,其中a∈R,

(Ⅰ)若a=0,求函數f(x)的定義域和極值;

(Ⅱ)當a=1時,試確定函數 的零點個數,并證明.

 

(Ⅰ);函數有極小值;(Ⅱ)函數存在兩個零點.

【解析】

試題分析:(Ⅰ)由分母不為0,求出函數的定義域,利用導數的正負性,求出函數的單調區間,從而求出極值;(Ⅱ)利用導數求出函數的單調區間,知函數是先增后減再增的,又極大值為0,極小值小于0,從而判斷函數有兩面個零點.

試題解析:【解析】
(Ⅰ)函數的定義域為, 2分

.令,得.當變化時,的變化情況如下:

極小

 

所以的單調減區間為,;單調增區間

故當時,函數有極小值. 5分

(Ⅱ)結論:函數存在兩個零點.證明過程如下:由題意,函數

因為.所以函數的定義域為.求導,得

, 7分

,得,,當變化時,的變化情況如下:

極大

極小

故函數的單調減區間為;單調增區間為,

時,函數有極大值

時,函數有極小值. 10分

因為函數單調遞增,且,所以對于任意.

因為函數單調遞減,且,所以對于任意.

因為函數單調遞增,且,,

所以函數上存在唯一,使得,

故函數存在兩個零點(即). 12分.

考點:1.利用導數研究函數的極值;2.函數的定義域及其求法.

 

練習冊系列答案
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已知函數是常數.

(1)求函數的圖象在點處的切線方程;

(2)若函數圖象上的點都在第一象限,試求常數的取值范圍;

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已知集合,,則( )

A.{x|10<x<1} B.{x|x>1} C.{x|x≥2} D.{x|1<x<2}

 

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在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c, ,a=b=3,點P是邊AB上的一個三等分點,則 =( )

A.0 B.6 C.9 D.12

 

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,其中t∈(0,π),則t=( )

A. B. C. D.

 

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已知下列5個命題,其中正確的命題____(寫出所有正確命題的代號)

①函數 ,x∈[1,4]的最大值是4.

②底面直徑和高都是2的圓柱側面積,等于內切球的表面積;

③在抽樣過程,三種抽樣方法抽取樣本時,每個個體被抽取的可能性不相等;

是橢圓 的兩個焦點,過點的弦,的周長是;

⑤“”的否定,“

 

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,則( )

A. B. C. D.

 

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己知函數,的等差數列,則_____________.

 

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已知橢圓C:的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形,直線與以橢圓C的右焦點為圓心,以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切.

(1)求橢圓的方程.

(2)設為橢圓上一點,若過點的直線與橢圓相交于不同的兩點,且滿足(O為坐標原點),求實數的取值范圍

 

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