已知函數
，其中a∈R，
（Ⅰ）若a=0，求函數f（x）的定義域和極值；
（Ⅱ）當a=1時，試確定函數
的零點個數，并證明.
（Ⅰ）
且
；函數
有極小值
;（Ⅱ）函數
存在兩個零點.
【解析】
試題分析：（Ⅰ）由分母不為0，求出函數的定義域，利用導數的正負性，求出函數的單調區間，從而求出極值；（Ⅱ）利用導數求出函數的單調區間，知函數是先增后減再增的，又極大值為0，極小值小于0，從而判斷函數有兩面個零點.
試題解析：【解析】
（Ⅰ）函數
的定義域為且， 2分
．令
，得
．當
變化時，
和
的變化情況如下：
|
|
|
|
|
| － | － |
| ＋ |
| ↘ | ↘ | 極小 | ↗ |
所以的單調減區間為
，
；單調增區間
．
故當
時，函數有極小值. 5分
（Ⅱ）結論：函數
存在兩個零點．證明過程如下：由題意，函數
．
因為
．所以函數的定義域為
．求導，得
， 7分
令
，得
，
，當
變化時，和
的變化情況如下：
|
|
|
|
|
|
|
|
| — |
|
|
|
| 極大 | ↘ | 極小 | ↗ |
故函數的單調減區間為
；單調增區間為
，
．
當時，函數有極大值
；
當
時，函數有極小值
. 10分
因為函數在單調遞增，且，所以對于任意
，
.
因為函數在
單調遞減，且，所以對于任意
，.
因為函數在單調遞增，且
，
，
所以函數在上存在唯一
，使得
，
故函數存在兩個零點（即
和
）. 12分.
考點：1.利用導數研究函數的極值；2.函數的定義域及其求法．
千里馬走向假期期末仿真試卷寒假系列答案科目：高中數學 來源：2015屆河南省名校高三上學期期中理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知函數
，
，
是常數．
（1）求函數
的圖象在點
處的切線方程；
（2）若函數圖象上的點都在第一象限，試求常數
的取值范圍；
（3）證明：
，存在
，使
．
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科目：高中數學 來源：2015屆河南省名校高三上學期期中文科數學試卷（解析版） 題型：選擇題
已知集合
，
，則
（ ）
A．{x|10＜x＜1} B．{x|x＞1} C．{x|x≥2} D．{x|1＜x＜2}
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科目：高中數學 來源：2015屆河南省八校高三上學期第一次聯考理科數學試卷（解析版） 題型：選擇題
在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a，b，c，
,a=b=3，點P是邊AB上的一個三等分點，則
=( )
A.0 B.6 C.9 D.12
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科目：高中數學 來源：2015屆河南省八校高三上學期第一次聯考文科數學試卷（解析版） 題型：填空題
已知下列5個命題，其中正確的命題____（寫出所有正確命題的代號）
①函數
，x∈[1,4]的最大值是4.
②底面直徑和高都是2的圓柱側面積，等于內切球的表面積;
③在抽樣過程，三種抽樣方法抽取樣本時，每個個體被抽取的可能性不相等；
④
是橢圓
的兩個焦點，過
點的弦
,
的周長是
；
⑤“
”的否定，“
”
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科目：高中數學 來源：2015屆河北省邯鄲市高三上學期摸底考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知橢圓C：
的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，直線
與以橢圓C的右焦點為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切．
（1）求橢圓的方程．
（2）設
為橢圓上一點，若過點
的直線
與橢圓
相交于不同的兩點
和
,且滿足
（O為坐標原點），求實數
的取值范圍
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↗
，其中t∈（0，π），則t=( )
B.
C.
D.
，則（ ）
B.
C.
D.
，
為
的等差數列，則
_____________．