Question

12．如圖①，已知ABCD為平行四邊形，∠A=60°，AF=2FB，AB=6，點E在CD上，EF∥BC，BD⊥AD，BD交EF于點N，現將四邊形ADEF沿EF折起，使點D在平面BCEF上的射影恰在直線BC上（如圖②），則折后直線DN與直線BF所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．

Answer 1

分析 法一：建立空間直角坐標系，$\overrightarrow{DN}$即可求折后直線DN與直線BF所成角的余弦值；
法二：在線段BC上取點M，使BM=BF，說明∠DNM或其補角為DN與BF所成角．用余弦定理解三角形即可求解折后直線DN與直線BF所成角的余弦值；

解答 解：EF⊥DN，EF⊥BN，得EF⊥面DNB
則平面BDN⊥平面BCEF，
由BN=平面BDN∩平面BCEF，
則D在平面BCEF上的射影在直線BN上，
又D在平面BCEF上的射影在直線BC上，
則D在平面BCEF上的射影即為點B，
故BD⊥平面BCEF．
解法一．如圖，建立空間直角坐標系，
∵在原圖中AB=6，∠DAB=60°，
則BN=$\sqrt{3}$，DN=2$\sqrt{3}$，
∴折后圖中BD=3，BC=3
∴N（0，$\sqrt{3}$，0），D（0，0，3），C（3，0，0）
$\overrightarrow{NF}$=（-1，0，0）
∴$\overrightarrow{BF}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{DN}$=（0，$\sqrt{3}$，-3）
∴cos＜$\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{DN}$＞=$\frac{|\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{DN|}}{\left|\overrightarrow{BF}\right|•|\overrightarrow{DN|}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
∴折后直線DN與直線BF所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$

解法二．在線段BC上取點M，使BM=NF，則MN∥BF
∴∠DNM或其補角為DN與BF所成角．
又MN=BF=2，DM=$\sqrt{{BD}^{2}+{BM}^{2}}$=$\sqrt{10}$，DN=2$\sqrt{3}$．
∴cos∠DNM=$\frac{{DN}^{2}+{MN}^{2}-{DM}^{2}}{2DN•MN}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
∴折后直線DN與直線BF所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$

點評 本題考查異面直線所成的角，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．