Question

設a＞1，若關于x的方程a^x=log_ax有實根，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：函數的零點與方程根的關系

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：函數y=a^x與y=log_ax關于y=x對稱，只需要討論與y=x有解即可，構造函數h（x）=a^x-x，只須h（x）的最小值小于等于0，進而得到實數a的取值范圍．

解答： 解：由于函數y=a^x與y=log_ax關于y=x對稱，只需要討論與y=x有解即可，
令h（x）=a^x-x，則函數h（x）有零點，
當a＞1時，令h′（x）=a^xlna-1=0，則x=loga

1

lna

，
當0＜x＜loga

1

lna

時，h′（x）＜0，此時函數h（x）為減函數；
當x＞loga

1

lna

時，h′（x）＞0，此時函數h（x）為增函數；
故當x=loga

1

lna

時，函數h（x）取最小值，
若函數h（x）有零點，則h（loga

1

lna

）≤0，
即

1

lna

=log_ae≤loga

1

lna

，
即e≤

1

lna

，
即0＜lna≤

1

e

，
即1＜a≤e

1

e

，
故實數a的取值范圍是（1，e

1

e

]，
故答案為：（1，e

1

e

]．

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，反函數，導數法判斷函數的單調性，導數法求函數的最值，對數的運算性質，是指數函數，對數函數，函數零點，導數等的綜合應用，運算量大，綜合性可，轉化困難，屬于難題．