Question

已知f（x）=

1+lnx

x-1

，g（x）=

k

x

（k∈N^*），對任意的c＞1，存在實數a，b滿足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），則k的最大值為

 

．

Answer 1

考點：函數的零點與方程根的關系

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：對?c＞1，存在實數a，b滿足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b）成立，可化為x＞1時，g（x）的圖象始終在f（x）的圖象的下方，從而作圖解得．

解答： 解：當k=1時，作函數f（x）=

1+lnx

x-1

，與g（x）=

k

x

（k∈N⁺）的圖象如下，

k=1，對?c＞1，存在實數a，b滿足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b）成立，正確；
當k=2時，作函數f（x）=

1+lnx

x-1

，與g（x）=

k

x

（k∈N⁺）的圖象如下，

k=2，對?c＞1，存在實數a，b滿足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b）成立，正確；
當k=3時，作函數f（x）=

1+lnx

x-1

，與g（x）=

k

x

（k∈N⁺）的圖象如下，

k=3時，對?c＞1，存在實數a，b滿足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b）成立，正確，
k=4時，作函數f（x）=

1+lnx

x-1

，與g（x）=

k

x

（k∈N⁺）的圖象如下，

k=4，不正確，
故答案為：3．

點評：本題考查了學生的作圖能力，屬于難題．