Question

已知函數y=f（x）=3^x+

x-2

x+1

．
（1）證明：函數f（x）在（-1，+∞）上為增函數；
（2）用反證法證明方程f（x）=0沒有負數根．

Answer 1

考點：反證法與放縮法,函數單調性的判斷與證明

專題：證明題,反證法,函數的性質及應用

分析：（1）應用函數的單調性證明函數f（x）在（-1，+∞）上為增函數即可；
（2）用反證法證明方程f（x）=0無負數根，基本步驟是假設存在x₀＜0（x₀≠-1），使f（x₀）=0，
經過推理得出矛盾，從而證明方程f（x）=0沒有負數根．

解答： 解：（1）證明：∵函數y=f（x）=3^x+

x-2

x+1

=3^x-

3

x+1

+1，
任取x₁、x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=（3x1-

3

x1+1

+1）-（3x2-

3

x2+1

+1）
=（3x1-3x2）+

3(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

；
∵-1＜x₁＜x₂，
∴3x1-3x2＞0，x₁-x₂＞0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0；
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數f（x）在（-1，+∞）上為增函數；
（2）證明：假設方程f（x）=0有負數根，不妨設存在x₀＜0（x₀≠-1），使f（x₀）=0，
則3x0=-

x0-2

x0+1

，
又0＜3x0＜1，
∴0＜-

x0-2

x0+1

＜1，
解得

1

2

＜x₀＜2，
這與假設x₀＜0矛盾，
∴方程f（x）=0沒有負數根．

點評：本題考查了應用單調性定義證明函數的單調性問題，也考查了反證法的應用問題以及函數的零點與方程根的問題，是綜合題目．